Classe quarta

Funzione sinusoidale: valore medio e valore efficace

Dalla spira rotante alla funzione sinusoidale, pulsazione, periodo e frequenza, valore medio e valore efficace di una grandezza alternata.

La produzione di energia elettrica

L’energia elettrica viene prodotta in centrali dove grandi macchine rotanti, dette generatori, forniscono in uscita tensioni che non sono costanti nel tempo, bensì variano con continuità istante per istante.

Generatore trifase, trasformatore elevatore, linea di trasmissione, trasformatore riduttore, utenza — Dal generatore all'utenza.

Dall’angolo alla pulsazione

Il principio di funzionamento del generatore è quello della spira rotante, immersa in un campo magnetico $\vec{B}$ e messa in rotazione da un motore primo (ad esempio la turbina di una cascata). Questo movimento induce ai capi della bobina una tensione, prelevata poi in uscita. Il valore istantaneo di tale grandezza dipende dall’angolo $\theta$ formato dal conduttore con il campo.

Spira rotante in un campo magnetico B con velocità angolare ω, velocità tangenziale v e angolo θ

Se la bobina ruota con velocità angolare $\omega$ (costante), il valore istantaneo della tensione è quello di una sinusoide:

$v(t) = V_{MAX}\,\operatorname{sen}(\omega t), \qquad \theta = \omega\cdot t$

La grandezza $\omega$ prende il nome di pulsazione. Per descrivere l’andamento di tali grandezze occorre adottare il formalismo delle funzioni sinusoidali.

Un punto che ruota su una circonferenza e la sinusoide corrispondente — Rotazione del generatore e oscillazione elettrica.

Come si vede, si può rappresentare una rotazione spaziale attraverso un’oscillazione temporale.

Funzioni periodiche e sinusoidali

Insiemi: tutte le funzioni, funzioni periodiche, alternate, sinusoidali

Periodica: funzione che si ripete identicamente a se stessa dopo ogni intervallo di tempo $T$ , detto periodo.
Alternata: funzione periodica che assume sia valori positivi sia negativi (a valor medio nullo).

Il grafico della funzione $\operatorname{sen}(\omega t)$

Grafico di v(t) = VMAX sen(ωt) con periodo e ampiezza

Il valore massimo si ha in corrispondenza di $\theta = \pi/2$ , quando la velocità tangenziale $v$ è perpendicolare alle linee di campo. I parametri sono:

$T$ : periodo $[\text{s}]$ ;
$f = \dfrac{1}{T}$ : frequenza $[\text{Hz}]$ ;
$\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$ : pulsazione $[\text{rad/s}]$ ;
$V_{MAX}$ : ampiezza $[\text{V}]$ .

Valore medio di una funzione alternata

Si calcola l’area netta, considerando positive le aree delle figure al di sopra dell’asse delle ascisse e negative quelle al di sotto.

Funzione periodica di periodo 8 s con le aree SA e SB e il valore medio Ym = 2

$S_A = \frac{6\cdot 6}{2} = 18, \qquad S_B = \frac{2\cdot 2}{2} = 2, \qquad A = 18 - 2 = 16 .$

Questo valore è lo stesso che si otterrebbe se la funzione avesse valore costante pari a $Y_m = 2$ (con $T = 8\,\text{s}$ ). Tale valore è detto valore medio nel periodo: in generale è il rapporto fra l’area netta e il periodo,

$Y_{med} = \frac{A_T}{T}.$

Nel caso di funzioni sinusoidali tale valore è sempre nullo, poiché le due aree $S_A$ e $S_B$ hanno valori opposti e la loro somma è nulla.

Valore medio nel semiperiodo

Per aggirare il problema si ricorre al valore medio nel semiperiodo, cioè in $T/2$ :

$Y_{T/2} = \frac{A_{T/2}}{T/2},$

che per la funzione seno vale

$Y_m = \frac{2}{\pi}\,V_{MAX}.$

Es. 1. Determinare l’ampiezza, il periodo, la frequenza e il valore medio nel semiperiodo di $v(t) = 3{,}67\,\operatorname{sen}(314\cdot t)$ .

$V_{MAX} = 3{,}67\,\text{V}$ ; da $\omega = 2\pi f = 314$ si ha $f = \dfrac{314}{2\pi} \simeq 50\,\text{Hz}$ e $T = \dfrac{1}{f} = 0{,}02\,\text{s}$ ; infine $Y_m = \dfrac{2}{\pi}\cdot 3{,}67 \simeq 2{,}34\,\text{V}$ .

Es. 2. Stesso procedimento per $v(t) = 240\,\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3}{2}\,t\right)$ .

$V_{MAX} = 240\,\text{V}$ ; da $\omega = 2\pi f = \dfrac{3}{2}$ si ha $f = \dfrac{3}{4\pi} \simeq 0{,}239\,\text{Hz}$ e $T = \dfrac{1}{f} \simeq 4{,}19\,\text{s}$ ; infine $Y_m = \dfrac{2}{\pi}\cdot 240 \simeq 152{,}8\,\text{V}$ .

Valore efficace di una funzione alternata

Si consideri un resistore $R = 1\,\Omega$ percorso dalla corrente della figura. La potenza istantanea dissipata per effetto Joule è $p(t) = i^2(t)\cdot R$ , che con $R = 1\,\Omega$ diventa $p(t) = i^2(t)$ .

Corrente periodica a gradini di periodo 4 s

L’area sottesa rappresenta l’energia dissipata nel periodo ed è pari a $E_T = 10\,\text{J}$ . Della potenza $p(t)$ si può calcolare il valore medio $P_m$ , che sottende la medesima area.

Potenza con il rettangolo tratteggiato Pm = 2,5 W

Il resistore percorso dalla corrente alternata dissipa quindi la stessa energia che se fosse percorso da una corrente costante tale da produrre la potenza media

$P_m = \frac{E_T}{T} = \frac{10\,\text{J}}{4\,\text{s}} = 2{,}5\,\text{W}.$

Si scrive allora $P_m = I^2\cdot R$ , dove $I$ è la corrente costante capace di dissipare nel periodo la stessa potenza. Il suo quadrato è detto valore quadratico medio, $I_{qm} = I^2 = \dfrac{P_m}{R}$ , e la sua radice quadrata

$I_{eff} = \sqrt{\frac{P_m}{R}}$

prende il nome di valore efficace.

Significato fisico. Il valore efficace di una grandezza rappresenta la grandezza continua che, sostituita a quella periodica, dissipa la stessa potenza media.

Per una funzione sinusoidale vale sempre

$V_{eff} = \frac{V_{MAX}}{\sqrt{2}}.$