Il metodo simbolico

Lavorare con le grandezze sinusoidali è da sempre un freno nello studio dei sistemi elettrici ed elettronici. Per tale ragione è stato introdotto il cosiddetto metodo simbolico, che permette di sostituire tali grandezze con vettori nel piano di Gauss (introdotto da Charles Steinmetz alla fine del XIX secolo).

Perché usare i numeri complessi?

Lavorare con i vettori complessi possiede evidenti vantaggi rispetto a farlo con le funzioni sinusoidali.

Con le funzioni sinusoidali	Con i numeri complessi
Le grandezze alternate sono descritte da funzioni sinusoidali variabili nel tempo	Le grandezze sono descritte da vettori in un piano
I calcoli sono complessi e laboriosi	Solo calcoli algebrici
È necessario risolvere equazioni differenziali	Spariscono le equazioni differenziali
Difficile visualizzazione delle relazioni reciproche	Facile visualizzazione delle relazioni reciproche

Dalla sinusoide al vettore rotante

Consideriamo una generica sinusoide e mettiamola in corrispondenza biunivoca con una circonferenza, facendo corrispondere a ciascuna ordinata della prima l’ordinata della seconda, a parità di angolo sotteso.

Come si vede, l’oscillazione temporale si è trasformata in una rotazione spaziale.

Dal vettore rotante al vettore fermo

• Il vettore così individuato ruota nel piano con velocità angolare $\omega$, descrivendo istante per istante un angolo $\omega t + \varphi$.
• Se tale velocità è costante, tutte le relazioni angolari esistenti fra i diversi vettori si mantengono costanti e dunque essi possono essere rappresentati come vettori fermi, in un qualunque istante, che per convenzione si prende pari a $t = 0$.
• L’ipotesi $\omega = \text{cost.}$ è vera e scaturisce dal modo in cui le grandezze elettriche sinusoidali sono generate.

Corrispondenza fra vettore e sinusoide

Il metodo simbolico consiste nel lavorare non più con le grandezze sinusoidali ma con i vettori corrispondenti, rispettando la tabella seguente.

Vettore	Sinusoide
Modulo	Valore efficace
Velocità angolare	Pulsazione
Angolo (o fase)	Fase iniziale

Pertanto, da questo momento in poi, al posto della sinusoide si utilizzerà il vettore così indicato:

dove $V_{eff}$ è il modulo e $\varphi$ è la fase. Va notato che, sempre per convenzione, al modulo del vettore va associato il valore efficace della sinusoide.

Rappresentazione complessa

Per poter rappresentare il vettore, occorre definire i numeri complessi nel modo seguente.

1. Si definisce il numero $j$ tale che $j^2 = -1$, cioè $j = \sqrt{-1}$, che prende il nome di unità immaginaria.
2. Siano $a, b \in \mathbb{R}$: il numero $\dot{z} = a + jb$ è detto numero complesso. Si dicono:
   • $a = \text{Re}\{\dot{z}\}$: parte reale;
   • $b = \text{Im}\{\dot{z}\}$: coefficiente dell’immaginario.

Rappresentazione grafica

È possibile rappresentare graficamente un numero complesso tramite un riferimento cartesiano, nel quale l’asse delle ascisse indica la parte reale e l’asse delle ordinate il coefficiente dell’immaginario. Tale riferimento prende il nome di piano di Argand-Gauss e rappresenta l’intero campo complesso $\mathbb{C}$.

Il numero $a + jb$ può essere rappresentato dal punto $P(a + jb)$ nel piano. Il vettore $OP$ rappresenta il numero $\dot{z}$ nel piano.

Le tre forme di un numero complesso

1. Forma algebrica

$$\dot{z} = a + jb$$

2. Forma polare

Come tutti i vettori, esso è dotato di modulo $\rho$ e fase $\varphi$ e può essere rappresentato come

$$\dot{z} = \rho\,\angle\varphi$$

Valgono le seguenti relazioni reciproche per il passaggio da una forma all’altra:

$$\rho = |\dot{z}| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \varphi = \angle\dot{z} = \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{a}\right)$$ $$a = \rho \cdot \cos\varphi \qquad b = \rho \cdot \operatorname{sen}\varphi$$

3. Forma esponenziale

Sfruttando la formula di Eulero

$$\cos\varphi + j\,\operatorname{sen}\varphi = e^{j\varphi}$$

si può scrivere il numero complesso nel modo ulteriore

$$\dot{z} = \rho \cdot e^{j\varphi}$$

Operazioni aritmetiche con i numeri complessi

Le operazioni con i numeri complessi sono le quattro aritmetiche (somma, differenza, prodotto, quoziente) e il complesso coniugato.

Somma e differenza. Si preferisce usare la forma algebrica. Dati $\dot{z}_1 = a_1 + jb_1$ e $\dot{z}_2 = a_2 + jb_2$:

$$\dot{z}_+ = (a_1 + a_2) + j\,(b_1 + b_2) \qquad \dot{z}_- = (a_1 - a_2) + j\,(b_1 - b_2)$$

Prodotto e quoziente. Si preferisce usare la forma polare. Dati $\dot{z}_1 = \rho_1\angle\varphi_1$ e $\dot{z}_2 = \rho_2\angle\varphi_2$:

$$\dot{z}_1 \cdot \dot{z}_2 = \rho_1 \cdot \rho_2\,\angle(\varphi_1 + \varphi_2) \qquad \frac{\dot{z}_1}{\dot{z}_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\,\angle(\varphi_1 - \varphi_2)$$

Cioè nel prodotto i moduli si moltiplicano e le fasi si sommano; nel quoziente i moduli si dividono e le fasi si sottraggono.

Esempi: somme e differenze

1. $Z_1 = 2 + j8$; $Z_2 = 3 + j7$; $Z_T = Z_1 + Z_2 = (2 + 3) + j(8 + 7) = 5 + j15$
2. $Z_1 = 1{,}5 + j11$; $Z_2 = -2 + j3$; $Z_T = Z_1 + Z_2 = (1{,}5 - 2) + j(11 + 3) = -0{,}5 + j14$
3. $Z_1 = 22 - j80$; $Z_2 = 15 + j36$; $Z_T = Z_1 + Z_2 = (22 + 15) + j(-80 + 36) = 37 - j44$
4. $Z_1 = 5 + j6$; $Z_2 = 4 + j3$; $Z_T = Z_1 - Z_2 = (5 - 4) + j(6 - 3) = 1 + j3$

Esempi: prodotti e quozienti

1. $Z_1 = 15\angle 20^\circ$; $Z_2 = 8\angle 9^\circ$; $Z_3 = \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{15}{8}\angle(20^\circ - 9^\circ) = 1{,}875\angle 11^\circ$
2. $Z_1 = 6\angle 45^\circ$; $Z_2 = 10\angle 30^\circ$; $Z_3 = \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{6}{10}\angle(45^\circ - 30^\circ) = 0{,}6\angle 15^\circ$
3. $Z_1 = 230\angle 70^\circ$; $Z_2 = 120\angle 35^\circ$; $Z_3 = Z_1 \cdot Z_2 = (230 \cdot 120)\angle(70^\circ + 35^\circ) = 27\,600\angle 105^\circ$
4. $Z_1 = 230\angle 105^\circ$; $Z_2 = 230\angle(-60^\circ)$; $Z_3 = Z_1 \cdot Z_2 = (230 \cdot 230)\angle(105^\circ - 60^\circ) = 52\,900\angle 45^\circ$

Complessi coniugati

Dato il numero $\dot{z} = a + jb$, si definisce complesso coniugato di $\dot{z}$ il numero

$$\dot{z}^* = a - jb$$

In generale, due numeri si dicono coniugati quando hanno la stessa parte reale e coefficiente dell’immaginario opposto. Esiste una utile proprietà:

$$\dot{z} \cdot \dot{z}^* = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}$$

che si dimostra facilmente ricordando che $j^2 = -1$: infatti $(a + jb)(a - jb) = a^2 - j^2 b^2 = a^2 + b^2$.

Mediante tale proprietà è possibile rendere reale il denominatore di una frazione complessa. Ad esempio, per $\dot{z} = \dfrac{1}{2 + j5}$, moltiplicando e dividendo per il coniugato del denominatore il valore non cambia:

$$\dot{z} = \frac{1}{2 + j5} \cdot \frac{2 - j5}{2 - j5} = \frac{2 - j5}{2^2 + 5^2} = \frac{2 - j5}{29} = \frac{2}{29} - j\,\frac{5}{29}$$

Nella forma ottenuta l’unità immaginaria è sparita dal denominatore, rendendo le operazioni algebriche più semplici; inoltre adesso è possibile riconoscere la parte reale e il coefficiente dell’immaginario:

$$\text{Re}\{\dot{z}\} = \frac{2}{29} \qquad \text{Im}\{\dot{z}\} = -\frac{5}{29}$$

La legge di Ohm in regime alternato

In corrente continua il rapporto $V/I$ è una resistenza, poiché è un rapporto fra due numeri reali. In corrente alternata, invece, $\overline{V}$ e $\overline{I}$ sono due numeri complessi e pertanto il loro rapporto è ancora un numero complesso:

e vale la legge di Ohm generalizzata $\overline{V} = \overline{Z} \cdot \overline{I}$, composta da numeri complessi. L’impedenza si può scrivere nella forma

$$\overline{Z} = X + jY$$

dove $X$ è la resistenza e $Y$ è la reattanza.

Il concetto di impedenza

L’impedenza possiede un modulo

$$|\overline{Z}| = \sqrt{X^2 + Y^2}$$

e una fase

$$\gamma = \angle\overline{Z} = \tan^{-1}\frac{Y}{X}$$

• Il modulo è il rapporto fra i valori efficaci della tensione e della corrente e si esprime in ohm.
• La fase, o argomento, è la differenza fra le fasi della tensione e della corrente e si esprime in gradi o radianti.

Per i tre tipi di carico si ha:

• carico ohmico: impedenza reale $\overline{Z} = R + j0 = R$ (resistenza);
• carico induttivo: impedenza complessa $\overline{Z} = 0 + jX_L = jX_L$ (reattanza);
• carico capacitivo: impedenza complessa $\overline{Z} = 0 - jX_C = -jX_C$ (reattanza).