Numeri complessi

Uno strumento molto potente nello studio delle grandezze sinusoidali è costituito dai numeri complessi. Di seguito alcune definizioni.

Definizioni

1. Si definisce il numero $j$ come $j^2 = -1$, che prende il nome di unità immaginaria. Risulta, dunque, $j = \sqrt{-1}$.
2. Siano $a, b \in \mathbb{R}$: il numero $\dot{z} = a + jb$ è detto numero complesso. Si dicono:
   • $a = \text{Re}\{\dot{z}\}$: parte reale;
   • $b = \text{Im}\{\dot{z}\}$: coefficiente dell’immaginario.

Forma algebrica

Rappresentazione grafica

È possibile rappresentare graficamente un numero complesso tramite un riferimento cartesiano, nel quale l’asse delle ascisse indica la parte reale e l’asse delle ordinate il coefficiente dell’immaginario. Tale riferimento prende il nome di piano di Argand-Gauss e rappresenta l’intero campo complesso $\mathbb{C}$.

Il numero $a + jb$ può essere rappresentato dal punto $P(a + jb)$ nel piano, come in figura. Il vettore $OP$ rappresenta il numero $\dot{z}$ nel piano.

Forma polare

Come tutti i vettori, esso è dotato di modulo $\rho$ e fase $\varphi$ e può essere rappresentato come

Valgono inoltre le seguenti relazioni reciproche per il passaggio da una forma all’altra:

Forma esponenziale

Sfruttando la formula di Eulero

$$\cos\varphi + j\,\operatorname{sen}\varphi = e^{j\varphi}$$

si può scrivere il numero complesso nel modo ulteriore

FORMA ESPONENZIALE

Operazioni aritmetiche

Le operazioni con i numeri complessi sono le quattro aritmetiche (somma, differenza, prodotto, quoziente) e il complesso coniugato.

Somma e differenza

Si preferisce usare la forma algebrica. Dati $\dot{z}_1 = a_1 + jb_1$ e $\dot{z}_2 = a_2 + jb_2$:

$$\dot{z}_+ = (a_1 + a_2) + j\,(b_1 + b_2) \qquad \dot{z}_- = (a_1 - a_2) + j\,(b_1 - b_2)$$

In forma polare, il modulo e la fase della somma e della differenza si scrivono invece:

$$\rho_+ = \sqrt{(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} \qquad \varphi_+ = \operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{b_1 + b_2}{a_1 + a_2}\right)$$ $$\rho_- = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} \qquad \varphi_- = \operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{b_1 - b_2}{a_1 - a_2}\right)$$

Prodotto e quoziente

Si preferisce usare la forma polare. Dati $\dot{z}_1 = \rho_1\angle\varphi_1$ e $\dot{z}_2 = \rho_2\angle\varphi_2$:

$$\dot{z}_1 \cdot \dot{z}_2 = \rho_1 \cdot \rho_2\,\angle(\varphi_1 + \varphi_2) \qquad \frac{\dot{z}_1}{\dot{z}_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\,\angle(\varphi_1 - \varphi_2)$$

In forma algebrica, le stesse operazioni si scrivono:

$$\dot{z}_1 \cdot \dot{z}_2 = \rho_1 \rho_2 \cos(\varphi_1 + \varphi_2) + j\,\rho_1 \rho_2 \operatorname{sen}(\varphi_1 + \varphi_2)$$ $$\frac{\dot{z}_1}{\dot{z}_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + j\,\frac{\rho_1}{\rho_2}\operatorname{sen}(\varphi_1 - \varphi_2)$$

Complessi coniugati

Dato il numero $\dot{z} = a + jb$, si definisce complesso coniugato di $\dot{z}$ il numero

$$\dot{z}^* = a - jb$$

In generale, due numeri si dicono coniugati quando hanno la stessa parte reale e coefficiente dell’immaginario opposto. Esiste una utile proprietà:

$$\dot{z} \cdot \dot{z}^* = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}$$

che si dimostra facilmente, ricordando che $j^2 = -1$: infatti $(a + jb)(a - jb) = a^2 - j^2 b^2 = a^2 + b^2$.

Mediante tale proprietà è possibile rendere reale il denominatore di una frazione complessa. Ad esempio, per $\dot{z} = \dfrac{1}{2 + j5}$, moltiplicando e dividendo per uno stesso numero $K$ il valore non cambia:

$$\dot{z} = \dot{z} \cdot \frac{K}{K}$$

In particolare, moltiplicando e dividendo per il coniugato del denominatore si ottiene:

$$\dot{z} = \frac{1}{2 + j5} \cdot \frac{2 - j5}{2 - j5} = \frac{2 - j5}{2^2 + 5^2} = \frac{2 - j5}{29}$$

cioè

$$\dot{z} = \frac{2}{29} - j\,\frac{5}{29}$$

Nella forma ottenuta $\dot{z} = \dfrac{2}{29} - j\,\dfrac{5}{29}$ l’unità immaginaria è sparita dal denominatore, rendendo le operazioni algebriche più semplici; inoltre adesso è possibile riconoscere la parte reale e il coefficiente dell’immaginario:

$$\text{Re}\{\dot{z}\} = \frac{2}{29} \qquad \text{Im}\{\dot{z}\} = -\frac{5}{29}$$