Principi di Kirchhoff

I principi di Kirchhoff rappresentano, insieme alla legge di Ohm, gli strumenti più potenti per risolvere le reti lineari, per ricavare, cioè, i valori delle correnti e delle tensioni in qualunque punto dei circuiti in esame.

Prima di affrontare l’argomento, però, occorre dare alcuni cenni sulle reti lineari necessari per il prosieguo.

Reti lineari: nodi, rami e maglie

Nella sua semplicità, il concetto di circuito stabilisce un principio fondamentale nell’elettrotecnica e cioè che il moto delle cariche deve essere circolare, cioè occorre che le cariche che escono da un bipolo poi ritornino al suo interno, dopo aver percorso il resto del circuito. Nel rispetto di tale principio, è possibile collegare opportunamente più circuiti fra loro, formando una rete elettrica. Col termine circuito, però, non si intende necessariamente quello composto da una singola maglia ma, in maniera più generale, qualunque rete.

Una rete elettrica lineare è l’insieme di più bipoli lineari ed è costituita dai seguenti elementi:

• nodo: è il punto dove si incontrano tre o più terminali dei bipoli presenti;
• ramo: è l’insieme dei bipoli compresi fra due nodi consecutivi;
• maglia: è l’insieme dei rami che formano un percorso chiuso.

Primo principio di Kirchhoff

Si consideri un generico nodo di una rete elettrica, nel quale convergono più rami. Alcuni di essi sono percorsi da correnti entranti nel nodo, mentre altri sono percorsi da correnti uscenti dal nodo.

Dato ad esempio il nodo seguente

essendo $I_1$ e $I_3$ entranti e $I_2$ e $I_4$ uscenti, il primo principio di Kirchhoff (I PdK) si scrive così:

Portando tutti i termini al primo membro, si può anche scrivere così:

$$I_1 + I_3 - I_2 - I_4 = 0$$

Da un punto di vista fisico, tale relazione indica che la quantità di carica che entra nel nodo in un intervallo di tempo $\Delta t$ è uguale a quella che esce nello stesso tempo.

Secondo principio di Kirchhoff

Il lavoro elettrico del generatore, necessario per mettere in moto le cariche e stabilire una corrente, si ripartisce sui diversi utilizzatori presenti nella rete e poiché la tensione è un lavoro per unità di carica anch’essa si ripartisce allo stesso modo. Pertanto, la somma delle tensioni sugli utilizzatori è pari a quella del generatore, o dei generatori se più di uno.

dove per somma algebrica si intende la somma di due o più termini ciascuno col proprio segno.

Data ad esempio la seguente maglia

scegliendo un verso di percorrenza della maglia arbitrario, per esempio quello antiorario come in figura, si considerano positive le tensioni concordi con tale verso e negative quelle discordi. Il secondo principio di Kirchhoff (II PdK) si scrive così:

Conoscendo tutti i valori tranne $V_2$, possiamo ricavarlo facilmente:

$$V_2 = E - V_1 - V_3 - V_4$$

Sostituendo i valori indicati, si ottiene:

$$V_2 = 25 - 3{,}5 - 8{,}25 - 5 = 8{,}25\,\text{V}$$

In generale, questo principio stabilisce che la somma di tutte le tensioni di una maglia è sempre nulla, anche se non ci sono generatori al suo interno.