Classe terza

Caso generico del II principio di Kirchhoff

Un approfondimento nel caso di più generatori: verso della corrente, equazione della maglia ed esempi svolti.

Risoluzione con più generatori

Finora il secondo principio di Kirchhoff è stato studiato e applicato al caso di maglie con un solo generatore di tensione. Nel caso generale, in cui sono presenti più generatori, si possono fare interessanti e utili considerazioni.

Maglia con 2 generatori di tensione

Consideriamo la maglia seguente, dove sono presenti due generatori di tensione continua $E_1$ ed $E_2$ . Vogliamo scrivere l’equazione della maglia.

Maglia con due generatori di tensione E1 ed E2 e cinque resistori R1, R2, R3, R4 ed R5

Ci sono due osservazioni da fare:

i due generatori sono in opposizione fra loro;
non è noto il verso della corrente, pertanto nulla si può dire del verso delle tensioni.

Finché non si stabilisce il verso della corrente, non possiamo scrivere l’equazione, mancando il verso delle tensioni.

I due generatori agiscono ciascuno opponendosi all’altro, dando vita a due correnti contrapposte che si sommano. Per ottenere la corrente risultante, si applica il principio di sovrapposizione degli effetti, ma in questa sede ne tralasciamo la dimostrazione.

Il verso della corrente finale è determinato dal generatore di valore più alto. Se, ad esempio, $E_1 = 14\,\text{V}$ ed $E_2 = 20\,\text{V}$ , la corrente $I$ ha verso concorde con $E_2$ (convenzione del generatore).

A questo punto, noto il verso della corrente, possiamo tracciare le tensioni sfruttando la convenzione dell’utilizzatore, come mostrato nella figura di seguito.

La stessa maglia con la corrente I concorde con E2 e le tensioni V1, V2, V3, V4, V5 tracciate sui resistori

Finalmente, l’equazione si scrive come segue:

E_1 + V_1 - E_2 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5 = 0

Esempio 1

Calcolare la tensione $V_2$ sul resistore $R_2$ .

Maglia con i generatori E1 ed E2 e i resistori R1, R2, R3, R4 ed R5

Dati: $E_1 = 25\,\text{V}$ ; $E_2 = 30\,\text{V}$ ; $R_1 = 200\,\Omega$ ; $R_2 = 120\,\Omega$ ; $R_3 = 310\,\Omega$ ; $R_4 = 85\,\Omega$ ; $R_5 = 250\,\Omega$ .

La prima cosa da trovare è il verso della corrente: siccome il generatore dominante è $E_2$ , la corrente $I$ è diretta allo stesso modo.

Adesso possiamo scrivere l’equazione della maglia come segue:

E_1 - E_2 + I \cdot (R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5) = 0

Come si vede, compare la somma di tutte le resistenze, cioè la resistenza equivalente del circuito:

E_1 - E_2 + I \cdot R_{eq} = 0 \qquad \text{(Eq. 1)}

Infatti, per definizione, una maglia è composta da un insieme di bipoli connessi in serie a formare un percorso chiuso. Per ricavare il valore di $I$ si deve calcolare

R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 = 965\,\Omega

Il circuito allora si riduce al seguente.

Circuito ridotto con i generatori E1 ed E2, la resistenza equivalente Req, la corrente I e la tensione Vtot

Sostituiamo i valori nell’equazione della maglia appena trovata (Eq. 1):

25 - 30 + I \cdot 965 = 0

Da qui si ottiene la corrente tramite la legge di Ohm:

I = \frac{E_2 - E_1}{R_{eq}} = \frac{5\,\text{V}}{965\,\Omega} = 5{,}18\,\text{mA}

Non resta che calcolare la tensione $V_2$ su $R_2$ , come richiesto dalla traccia:

V_2 = R_2 \cdot I = 120\,\Omega \cdot 5{,}18\,\text{mA} = 0{,}622\,\text{V}

Osserviamo che sulla resistenza equivalente è presente una tensione netta $V_{tot}$ dovuta alla differenza dei due generatori:

V_{tot} = E_2 - E_1 = 30\,\text{V} - 25\,\text{V} = 5\,\text{V}

Essa è opposta alla corrente, come ci si deve aspettare.

Che cosa abbiamo imparato da questo esercizio?

che il verso della corrente è quello del generatore di valore più alto;
che la resistenza equivalente della maglia è pari alla resistenza serie complessiva;
che la tensione sulla resistenza equivalente è pari alla differenza dei due generatori e ha verso opposto alla corrente.

Maglia con più generatori di tensione

Esempio 2

Calcoliamo la tensione $V_1$ nella seguente maglia.

Maglia con cinque generatori E1, E2, E3, E4, E5 e resistori

Dati: $E_1 = 12\,\text{V}$ ; $E_2 = 15\,\text{V}$ ; $E_3 = 7{,}5\,\text{V}$ ; $E_4 = 5\,\text{V}$ ; $E_5 = 17{,}5\,\text{V}$ ; $R_1 = 120\,\Omega$ ; $R_2 = 210\,\Omega$ ; $R_3 = 250\,\Omega$ ; $R_4 = 400\,\Omega$ ; $R_5 = 230\,\Omega$ .

Sono presenti 5 generatori di tensione. Procediamo in questo modo:

raggruppiamo i generatori in base alla loro polarità: gruppo A ( $E_1$ , $E_2$ , $E_4$ ) e gruppo B ( $E_3$ , $E_5$ );
sommiamo i valori dei due gruppi:

$E_A = 12 + 15 + 5 = 32\,\text{V}$ (gruppo dominante)

$E_B = 7{,}5 + 17{,}5 = 25\,\text{V}$
poiché $E_A > E_B$ la corrente presenta lo stesso verso del gruppo A e si può aggiungere alla maglia.

La stessa maglia con la corrente I concorde con il gruppo dominante

A questo punto non resta che scrivere l’equazione del II PdK:

E_1 + E_2 - E_3 + E_4 - E_5 - I \cdot (R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5) = 0

che, risolta, ci dà $I = \dfrac{7\,\text{V}}{1210\,\Omega} \simeq 5{,}79\,\text{mA}$ . La tensione voluta infine vale

V_1 = I \cdot R_1 \simeq 0{,}69\,\text{V}