Classe terza

Rappresentazione grafica dei sistemi

Segnali e loro rappresentazione temporale, modello matematico, schemi a blocchi e algebra dei blocchi, sistemi di controllo ad anello aperto e in retroazione negativa e positiva.

I segnali e la loro rappresentazione temporale

Una grandezza variabile nel tempo, che può essere descritta matematicamente, prende il nome di segnale. La caratteristica distintiva di un segnale è la possibilità di descriverlo in termini matematici e quindi anche attraverso un grafico, che ne mostra l’andamento in funzione del tempo. A seconda di tale andamento, i segnali possono essere classificati in analogici (che variano in maniera continua, senza «salti» fra i valori) e digitali (a gradini). Una simulazione di tali segnali può essere trovata a questo link: temperatura nel tempo.

Andamento della temperatura in funzione del tempo, in forma analogica e a gradini — Fig. 1 – Andamento della temperatura in funzione del tempo.

La rappresentazione grafica di un segnale avviene mediante un diagramma cartesiano, nel quale l’asse delle ascisse rappresenta il tempo e quello delle ordinate la grandezza osservata, ad esempio la temperatura. Più in generale, sulle ordinate l’ampiezza del segnale dipende dalla sua natura e deve tenere conto dell’unità di misura corrispondente (tensione: V; corrente: A; forza: N; velocità: m/s; pressione: Pa; ecc.).

Sistema di assi cartesiani con il tempo in ascissa e l'ampiezza del segnale in ordinata — Fig. 2 – Sistema di riferimento per rappresentare un segnale.

Una classificazione più ampia dei segnali è la seguente:

analogici: variano in maniera continua;
digitali: variano in maniera discontinua;
deterministici: hanno un andamento prevedibile nel tempo;
casuali: non esiste alcun modo per prevedere matematicamente i loro valori futuri.

Il modello matematico

Per rappresentare un sistema è spesso necessario ricorrere a una descrizione approssimativa che ne evidenzi solamente gli aspetti di interesse. Quando questa descrizione viene fatta attraverso le relazioni matematiche esistenti fra le varie parti del sistema, essa prende il nome di modello matematico.

Esempi.

Sensore di temperatura: $V(0\,^\circ\mathrm{C}) = 0\ \mathrm{V}$ , $V(\pm 1\,^\circ\mathrm{C}) = \pm 0{,}1\ \mathrm{V}$ , da cui $V(T) = 0{,}1\cdot T$ .
Amplificatore con guadagno $A = 10$ : $V_{out} = A\cdot V_{in} = 10\cdot V_{in}$ .
Moto di un proiettile: $y = -\dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + v_{0y}\,t + y_0$ .

Più in generale, esiste una relazione matematica ben precisa che lega le variabili fra di loro:

\begin{aligned} s(t) &= f\bigl(s(t_0),\,x(t)\bigr) &&\text{funzione di transizione di stato}\\ y(t) &= g\bigl(s(t_0),\,x(t)\bigr) &&\text{funzione di uscita} \end{aligned}

dove $s(t)$ è la funzione di stato, $y(t)$ l’uscita, $t_0$ l’istante iniziale e $t$ l’istante presente. Le funzioni $f$ e $g$ sono due funzioni generiche dello stato iniziale e della variabile di ingresso nell’istante presente.

In particolare, la funzione di transizione di stato $f(\cdot)$ definisce lo stato presente in funzione dello stato iniziale $s(t_0)$ e dell’ingresso presente $x(t)$ . Allo stesso modo, la funzione di uscita $g(\cdot)$ definisce il valore dell’uscita in ogni istante in funzione dello stato iniziale e dell’ingresso presente.

Schema a blocchi

Le relazioni matematiche fra le parti di un sistema si possono descrivere graficamente, e in maniera più intuitiva, mediante schemi a blocchi. Ciascuna relazione matematica che agisca su una variabile può essere rappresentata attraverso un blocco orientato.

Blocco con ingresso X, uscita Y e funzione di trasferimento G — Fig. 3 – Blocco singolo.

La lettera $G$ all’interno del blocco rappresenta la cosiddetta funzione di trasferimento (FdT), cioè il legame matematico fra l’ingresso e l’uscita:

$G = \frac{Y}{X}$

Quando la FdT è costante, viene anche detta guadagno del blocco. Se il legame fra ingresso e uscita è del tipo $y = a\cdot x + b$ si dice che il sistema è lineare.

Ad esempio, nel caso di un resistore $R$ , la legge di Ohm può essere schematizzata con un blocco di guadagno $R$ .

Blocco di guadagno R con ingresso I e uscita V = R·I — Fig. 4 – Legge di Ohm.

È possibile combinare più blocchi fra di loro, ottenendo una funzione globale più complessa. I nodi derivatori sdoppiano il segnale e lo inviano a due blocchi distinti. Il nodo sommatore fa la somma algebrica dei due segnali $X$ e $Y$ e ne invia il risultato al blocco successivo.

Nodo derivatore e nodo sommatore — Fig. 5 – Nodi di collegamento.

Poiché ciascun blocco contiene una relazione matematica, è possibile creare delle relazioni matematiche fra i blocchi, collegandoli opportunamente. Questa modalità stabilisce un insieme di regole che prendono il nome di algebra degli schemi a blocchi. Secondo queste regole, si può sostituire a due (o più) blocchi collegati un unico blocco a essi equivalente, cioè tale che il legame ingresso-uscita resti invariato.

Allo stesso modo in cui è possibile stabilire dei legami matematici fra bipoli elettrici a seconda del loro collegamento, si individuano i seguenti legami fra blocchi.

Collegamento in serie, in parallelo e in retroazione negativa e positiva fra due blocchi — Fig. 6 – Principali collegamenti fra blocchi.

Collegamento in serie. Il blocco equivalente possiede una FdT pari al prodotto delle FdT dei due blocchi: $G_{eq} = G_1\cdot G_2$ .
Collegamento in parallelo. Il blocco equivalente possiede una FdT pari alla somma delle FdT dei due blocchi: $G_{eq} = G_1 + G_2$ .
Retroazione negativa. L’uscita viene sottratta all’ingresso. Il blocco equivalente possiede una FdT pari a $G_{eq} = \frac{G_1}{1 + G_1\cdot G_2}$
Retroazione positiva. L’uscita viene sommata all’ingresso. Il blocco equivalente possiede una FdT pari a $G_{eq} = \frac{G_1}{1 - G_1\cdot G_2}$

ES. 1 – La bilancia. Una bilancia è costituita da una molla sospesa (dinamometro) il cui allungamento $x$ , tramite la costante $K = 20\ \mathrm{N/m}$ , sposta il cursore di un potenziometro lineare $R_x = R_0\cdot x$ , con $R_0 = 300\ \Omega/\mathrm{m}$ . Sapendo che in ingresso è applicata una forza $F = 2 \div 5\ \mathrm{N}$ , calcolare la resistenza minima e massima del potenziometro.

Molla sospesa collegata al cursore di un potenziometro — Dinamometro e potenziometro.

Il sistema è composto da due blocchi: un dinamometro e un potenziometro. Poiché l’uscita del dinamometro coincide con l’ingresso del potenziometro, l’intero sistema si rappresenta collegando i due blocchi in serie. Siano $G_1 = 1/K$ e $G_2 = R_0$ ; il modello matematico è

$x = \frac{F}{K}, \qquad R_x = R_0\cdot x .$

Schema a blocchi con i blocchi 1/K e R0 in serie

Si può sostituire ai due blocchi un unico blocco, la loro serie:

dove $G_T = \dfrac{R_0}{K}$ . Si calcola ora l’uscita quando l’ingresso assume i valori minimo e massimo:

$R_{x,\min} = \frac{R_0}{K}\,F_{\min} = \frac{300}{20}\cdot 2 = 30\ \Omega, \qquad R_{x,\max} = \frac{R_0}{K}\,F_{\max} = \frac{300}{20}\cdot 5 = 75\ \Omega .$

ES. 2 – Motore comandato in tensione. La velocità $\omega$ di un motore è controllata tramite una tensione variabile $v(t)$ secondo la legge $\omega = 0{,}5\cdot v(t)$ (in giri al minuto, per ogni volt). La tensione variabile è prodotta a partire da un comando $x$ in ingresso: $v(t) = 3\cdot x$ . Disegnare lo schema a blocchi, lo schema equivalente e la FdT totale. Calcolare l’uscita quando $x = 100,\ 200,\ 500$ .

Due blocchi in serie G1 e G2 e blocco equivalente GT

I due blocchi sono in serie, con $G_1 = 3$ e $G_2 = 0{,}5$ , quindi $G_T = G_1\cdot G_2 = 1{,}5$ e

$\omega = 1{,}5\cdot x = 150,\ 300,\ 750\ \text{giri/min}.$

ES. 3 – Sensore di temperatura. Un sensore di temperatura è costituito da un trasduttore con caratteristica $I_s = 10\ \mathrm{mA}/{}^\circ\mathrm{C}\cdot T$ e da un convertitore corrente-tensione con caratteristica $V_{out} = 40\cdot I_s$ . Disegnare lo schema a blocchi, lo schema equivalente e la FdT totale. Calcolare l’uscita quando $T = 20\,^\circ\mathrm{C},\ 45\,^\circ\mathrm{C},\ 120\,^\circ\mathrm{C}$ .

Il convertitore ha guadagno $40\ \Omega$ (si assume $I_s$ espressa in ampere nella relazione di uscita). I due blocchi sono in serie:

$G_T = 10\ \tfrac{\mathrm{mA}}{{}^\circ\mathrm{C}}\cdot 40\ \Omega = 0{,}01\cdot 40 = 0{,}4\ \tfrac{\mathrm{V}}{{}^\circ\mathrm{C}},$

quindi $V_{out} = 0{,}4\cdot T = 8\ \mathrm{V},\ 18\ \mathrm{V},\ 48\ \mathrm{V}$ .

ES. 4 – Partitore di corrente. Un sistema è costituito da due resistori in parallelo in un partitore di corrente. Sapendo che la tensione in ingresso è $v = 12 \div 35\ \mathrm{V}$ e che le due correnti valgono $I_1 = \dfrac{1}{R_1}\,v$ e $I_2 = \dfrac{1}{R_2}\,v$ , disegnare lo schema a blocchi della corrente totale $I_T = I_1 + I_2$ e calcolare la FdT.

Due resistori in parallelo alimentati dalla tensione v, percorsi dalle correnti I1 e I2

I due blocchi sono in parallelo, pertanto si utilizza lo schema seguente.

Due blocchi G1 e G2 in parallelo con ingresso v e uscita I_T

Con $G_1 = 1/R_1$ e $G_2 = 1/R_2$ si ha

$G_T = G_1 + G_2 = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}.$

ES. 5 – Pompe idrauliche. Due pompe idrauliche alimentano lo stesso serbatoio. I livelli prodotti da ciascuna di esse sono $L_1 = 2\cdot t$ e $L_2 = 1{,}5\cdot t$ (in litri, con $t$ in minuti). Se $L_{tot}$ rappresenta il livello totale del serbatoio, disegnare lo schema a blocchi del sistema e calcolare il livello del serbatoio dopo $t = 10,\ 15,\ 35$ minuti.

I due blocchi sono in parallelo, con $G_1 = 2$ e $G_2 = 1{,}5$ (litri al minuto): $G_T = G_1 + G_2 = 3{,}5$ , quindi

$L_{tot} = 3{,}5\cdot t = 35,\ 52{,}5,\ 122{,}5\ \text{litri}.$

Sistemi di controllo

Il sistema di controllo, detto anche regolatore, è il blocco che ha il compito di far assumere alle variabili del sistema controllato i valori opportuni. Se esiste un sistema di controllo esiste anche un sistema controllato.

Il più semplice sistema di controllo è quello ad anello aperto (Fig. 7), caratterizzato dalla presenza dei soli blocchi di controllo e controllato. Una variante più completa mostra anche la presenza di un disturbo $d$ che agisce sul sistema controllato.

Sistema di controllo ad anello aperto con ingresso x, sistema di controllo, variabile w, disturbo d, sistema controllato e uscita y — Fig. 7 – Sistema di controllo ad anello aperto.

Questa tipologia regola il sistema solamente sulla base del valore assunto dalla variabile di ingresso, ma non effettua alcuna verifica sul valore della variabile controllata. L’effetto dei disturbi può essere eliminato (o ridotto) solamente se questi sono prevedibili e misurabili.

Per poter verificare l’effetto del controllo sull’uscita è necessario ricorrere a uno schema detto di retroazione, che può essere positiva o negativa e consiste nel prelevare l’uscita e riportarla indietro in ingresso tramite un percorso chiuso.

Schema in retroazione con catena di andata, nodo sommatore e blocco di retroazione — Fig. 8 – Schema in retroazione.

Si distinguono le parti di cui è composto:

la catena di andata, che rappresenta il sistema di controllo ad anello aperto;
il blocco di retroazione, che permette di riportare in ingresso il segnale di uscita;
il nodo sommatore, dove avviene il confronto fra la variabile retroazionata e quella di ingresso.

In un sistema di controllo si distinguono inoltre due importanti tipologie di variabili:

variabile controllata: è la grandezza che si vuole manipolare per ottenere l’uscita desiderata;
variabile di controllo: è la grandezza controllante, cioè quella che agisce sulla variabile controllata, permettendo di modificarne opportunamente il valore.

Retroazione negativa

L’ingresso è costituito dal valore desiderato $x_{ref}$ (può essere una temperatura o qualsiasi altra grandezza, ad esempio una velocità). Il valore di riferimento comanda direttamente il sistema, la cui uscita $y$ è misurata e riportata indietro dal blocco di retroazione, dove viene confrontata con l’ingresso. Il nodo sommatore presenta il segno meno.

Il segnale di errore

$e = x_{ref} - h$

rappresenta la differenza fra il valore desiderato e quello misurato. Sulla base di questo valore il sistema si adegua, producendo una nuova uscita in maniera da ridurre sempre più l’errore, finché tale valore non si annulla oppure non raggiunge un valore sufficientemente piccolo da considerarsi trascurabile.

La retroazione negativa si utilizza quando si vuole portare il sistema intorno a un valore di riferimento. In tal modo l’uscita si avvicina sempre di più a tale valore, fino a raggiungerlo (anche con una certa approssimazione). Produce, in generale, un sistema stabile.

ES. 6 – Forno. Il sistema di controllo di un forno è costituito da un sensore che misura la temperatura e la confronta con il valore impostato. Lo schema è quello tipico di una retroazione negativa.

Retroazione negativa con riscaldatore nella catena di andata e sensore nel ramo di retroazione

Nell’esempio del forno, il sistema di controllo e il sistema da controllare sono raggruppati in un unico blocco, quello del riscaldatore (che rappresenta l’attuatore, cioè una resistenza). Il blocco di retroazione è invece costituito dal sensore di temperatura.

Si supponga che il riscaldatore produca una temperatura con andamento a rampa, cioè lineare, aumentando di $2\,^\circ\mathrm{C}$ ogni minuto (il tempo è misurato in secondi), quindi $T = 2\,^\circ\mathrm{C}\cdot\dfrac{t}{60}$ , e che il sensore misuri la temperatura all’istante presente, cioè $T_{sens} = 1\cdot T$ . In termini di FdT, risulta $G_1 = 2\,^\circ\mathrm{C}\cdot\dfrac{1}{60}$ e $G_2 = 1$ . Pertanto si può ricavare la $G_T$ con la formula nota:

$G_T = \frac{G_1}{1 + G_1 G_2} = \frac{1/30}{1 + 1/30} = \frac{1}{31}\ {}^\circ\mathrm{C/s}.$

Schema equivalente con un unico blocco G_T

La retroazione negativa in un sistema automatico

Un sistema di controllo automatico in retroazione negativa si schematizza nel modo seguente.

Schema con controllore, attuatore, sistema e trasduttore nel ramo di retroazione — Fig. 10 – Sistema di controllo automatico in retroazione negativa.

Il sistema di controllo confronta istante per istante l’uscita con il valore di riferimento in ingresso (ad esempio una tensione $V_{ref}$ ). L’uscita è riportata in ingresso attraverso un trasduttore: ad esempio, la temperatura di un forno viene rilevata da un trasduttore che la trasforma in una tensione, in modo da poterla confrontare con la tensione di riferimento:

$err = V_{ref} - V_T .$

Sulla base del segnale $err$ , il controllore comanda opportunamente l’attuatore.

Retroazione positiva

Questa volta l’ingresso e il segnale retroazionato producono il segnale somma $s = x_{ref} + h$ . In tal modo il sistema di controllo riceve un ingresso che aumenta sempre più velocemente, amplificando la risposta del sistema controllato. Il nodo sommatore presenta il segno più.

Si utilizza la retroazione positiva quando è necessario comandare la crescita rapida della grandezza controllata, invece di portarla a un valore di riferimento. Produce, in generale, instabilità.

Schema a retroazione positiva con nodo sommatore a segno più — Fig. 11 – Retroazione positiva.

ES. 7 – Effetto Larsen. Durante un concerto può accadere che un microfono capti l’uscita di un altoparlante e la rimandi allo stesso altoparlante. In tal modo si stabilisce una retroazione positiva che autoamplifica il suono, producendo un fischio crescente che può portare alla rottura dell’altoparlante.

ES. 8 – Riscaldamento globale. Il ciclo di scioglimento dei ghiacci è un esempio di retroazione positiva in natura. Il calore della luce solare viene assorbito dai fondali scuri degli oceani mentre è riflesso dalla superficie chiara dei ghiacciai. Lo scioglimento di questi ultimi riduce la quota di calore riflessa, che si allontana dal pianeta, mentre aumenta la quota assorbita. Questo produce un ulteriore aumento della temperatura che accelera lo scioglimento dei ghiacci.