Classe quarta

Valore medio e valore efficace

Come si definiscono e si calcolano il valore medio e il valore efficace di una grandezza periodica, con il caso della sinusoide.

Una grandezza periodica varia continuamente nel tempo, ma spesso è utile descriverla con un solo numero. I due valori più usati sono il valore medio e il valore efficace, che rispondono a domande diverse: il primo misura l’area che la grandezza sottende, il secondo ne misura gli effetti energetici.

Valore medio di una funzione periodica

Si calcola l’area netta compresa fra la curva e l’asse delle ascisse, considerando positive le aree delle figure al di sopra dell’asse e negative quelle al di sotto.

Funzione triangolare di periodo 8 s con le aree SA positiva e SB negativa e il rettangolo tratteggiato del valore medio Ym = 2 — Area netta di una funzione periodica di periodo T = 8 s.

Nel periodo $T = 8\,\text{s}$ della figura:

S_A = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18 \qquad S_B = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2

e quindi l’area netta vale

A = S_A - S_B = 18 - 2 = 16

Questo è lo stesso valore che si otterrebbe se la funzione fosse costante e pari a $Y_m = 2$ (il rettangolo tratteggiato). Tale valore è detto valore medio nel periodo.

In generale, il valore medio nel periodo è il rapporto fra l’area netta e il periodo.

Y_{med} = \frac{A_T}{T}

Nel caso delle funzioni sinusoidali questo valore è sempre nullo, perché le due aree $S_A$ e $S_B$ hanno valori opposti e la loro somma è nulla.

Valore medio nel semiperiodo

Per aggirare questo problema si ricorre al valore medio nel semiperiodo, cioè calcolato in $T/2$ :

Y_{T/2} = \frac{A_{T/2}}{\dfrac{T}{2}}

che per la funzione seno vale

Y_m = \frac{2}{\pi}\,V_{MAX}

Per risolvere gli esercizi si procede così: si scrive il valore di $V_{MAX}$ , si ricavano $T$ e $f$ (o viceversa) dalla pulsazione e si sostituisce nella formula.

Esempio 1

Determinare l’ampiezza, il periodo, la frequenza e il valore medio nel semiperiodo della funzione

v(t) = 3{,}67\,\operatorname{sen}(314 \cdot t)

$V_{MAX} = 3{,}67\,\text{V}$ ;
da $\omega = 2\pi f = 314\,\text{rad/s}$ si ottiene $f = \dfrac{314}{2\pi} \simeq 50\,\text{Hz}$ e quindi $T = \dfrac{1}{f} = 0{,}02\,\text{s}$ ;
il valore medio nel semiperiodo è

Y_m = \frac{2}{\pi}\,V_{MAX} = \frac{2}{\pi} \cdot 3{,}67\,\text{V} \simeq 2{,}34\,\text{V}

Esempio 2

Stesso procedimento per la funzione

v(t) = 240\,\operatorname{sen}\left(\frac{3}{2}\, t\right)

$V_{MAX} = 240\,\text{V}$ ;
da $\omega = 2\pi f = \dfrac{3}{2}\,\text{rad/s}$ si ottiene $f = \dfrac{3/2}{2\pi} \simeq 0{,}239\,\text{Hz}$ e quindi $T = \dfrac{1}{f} \simeq 4{,}19\,\text{s}$ ;
il valore medio nel semiperiodo è

Y_m = \frac{2}{\pi} \cdot 240\,\text{V} \simeq 152{,}8\,\text{V}

Valore efficace di una funzione periodica

Si consideri un resistore con $R = 1\,\Omega$ percorso dalla corrente $i(t)$ della figura, con periodo $T = 4\,\text{s}$ .

Corrente periodica a gradini di periodo 4 s, con valori 1 A, 2 A e −1 A — Corrente periodica i(t), con T = 4 s.

La potenza istantanea dissipata per effetto Joule è $p(t) = i^2(t) \cdot R$ . Poiché $R = 1\,\Omega$ , si può scrivere semplicemente

p(t) = i^2(t)

Tracciamo allora il diagramma della potenza istantanea, ricordando che $R = 1\,\Omega$ e quindi $p(t) = i^2$ .

Diagramma della potenza istantanea p = i², con valori 1, 4 e 1 nei tre tratti del periodo — Potenza istantanea p(t) = i²(t).

L’area sottesa rappresenta l’energia dissipata nel periodo ed è pari a $E_T = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 10\,\text{J}$ . La potenza $p(t)$ non è alternata, quindi se ne può calcolare il valore medio $P_m$ , che sottende la medesima area, cioè l’energia $E_T$ .

La stessa potenza con il rettangolo tratteggiato di altezza Pm = 2,5 W che sottende l'energia ET = 10 J — Il rettangolo tratteggiato ha la stessa area (E_T = 10 J) della potenza istantanea.

Il resistore percorso dalla corrente alternata $i(t)$ dissipa quindi la stessa energia che se fosse percorso da una corrente costante $I_{eff}$ tale da produrre la potenza media

P_m = \frac{E_T}{T} = \frac{10\,\text{J}}{4\,\text{s}} = 2{,}5\,\text{W}

Possiamo allora scrivere $P_m = I_{eff}^2 \cdot R$ , dove $I_{eff}$ è la corrente costante capace di dissipare nel periodo la stessa potenza media. Il suo quadrato è detto valore quadratico medio:

I_{qm} = I_{eff}^2 = \frac{P_m}{R}

La radice quadrata

I_{eff} = \sqrt{\frac{P_m}{R}}

prende il nome di valore efficace. Nell’esempio, con $R = 1\,\Omega$ , vale $I_{eff} = \sqrt{2{,}5}\,\text{A} \simeq 1{,}58\,\text{A}$ .

Significato fisico del valore efficace

Fisicamente, il valore efficace di una grandezza periodica è il valore della grandezza continua che, sostituita a quella periodica, produce gli stessi effetti energetici.

Valore efficace di una funzione sinusoidale

Per una funzione sinusoidale $v(t)$ vale sempre

V_{eff} = \frac{V_{MAX}}{\sqrt{2}}